
\prob{0073}{整数根方程II}

已知$p + q = 96$，关于$x$的方程$x^2 + px + q$的根都是整数，求方程的根的最大值和最小值。
\problabels{yellow/数论, green/方程相关问题}

\ans{最大值为$98$，最小值为$-96$。}

\subsection{Vieta定理}

基本思路：由Vieta定理推出$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 97$。

由Vieta定理知$p = -x_1 - x_2, q = x_1x_2$，故
\begin{align*}
  x_1x_2 - x_1 - x_2 &= 96 \\
  x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1 &= 97 \\
  (x_1 - 1)(x_2 - 1) &= 97 \\
\end{align*}
而$x_1, x_2$均为整数，而$97 = 1\times97 = (-1)\times(-97)$，显然在前者的情况下根取最大值，在后者的情况下根取最小值。不妨设$x_1 > x_2$，则在第一种情况下，
\begin{align*}
  x_1 - 1 &= 97 \\
  x_1 &= 98 \\
\end{align*}
在第二种情况下，
\begin{align*}
  x_2 - 1 &= -97 \\
  x_2 &= -96 \\
\end{align*}
故方程的根的最大值为$98$，最小值为$-96$。
